Senin, 31 Mei 2021

POLINOMIAL : Teorema Faktor

         

POLINOMIAL: Teorema Faktor

A. Definisi Teorema Faktor

Teorema faktor menjelaskan bahwa: 

1) Jika P(x) habis dibagi q(x) atau mempunyai sisa nol, maka q(x) adalah faktor dari P(x) 

2) Jika P(x) = f(x).g(x) maka f(x) dan g(x) adalah faktor dari P(x) 

Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x – k) sisanya adalah nol, maka menurut teorema sisa: 
f(x) = (x – k) . H(x) + S 
f(x) = (x – k) . H(x) + f(k), jika f(k) = 0 
f(x) = (x – k) . H(x) 
Jadi, (x – k) adalah faktor dari f(x)


Penjelasan tambahan teorema faktor: 
• Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0, f(b) = 0, dan f(c) = 0 maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b) (x – c) 
• Jika (x – a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x) atau f(a) = 0 

B. Menentukan faktor-faktor linear dari polinomial

Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor lain atau akar-akar rasional dari sistem persamaan polinom menggunakan metode Horner. Faktor linear rasional adalah bentuk (x – k) untuk 𝑘 ∈ 𝑅.


Contoh Soal: 

  1. Tentukan faktor-faktor dari suku banyak 2x4 − 5x3 − 8x2 + 17x − 6 
Pembahasan: 
Diketahui f(x) = 2x4 − 5x3 − 8x2 + 17x − 6 
Konstanta dari f(x) adalah a0 = – 6 
Faktor-faktor bulat dari 6 adalah ±1, ±2, ±3, dan ±6 
Dengan menggunakan metode Horner, faktor bulat x = k diuji satu persatu sampai ditemukan faktor yang memberi nilai f(k) = 0



2. Tentukan nilai a sehingga (x – 2) merupakan faktor dari x3 – 2x2 + ax – 5! 

Pembahasan: 
x – 2 = 0 ⇒ x = 2
0 = x3 – 2x2 + ax – 5 
0 = 23 – 2(2)2 + a(2) – 5 
0 = 8 – 8 + 2a – 5 
5 = 2a ⇔ a = 5⁄2 

3. Jika salah satu akar dari f(𝑥) = 𝑥4 + 𝑚𝑥3 − 6𝑥2 + 7𝑥 − 6 adalah 2, tentukan akar linear lainnya!

Pembahasan: 
Mencari nilai m dengan substitusi polinom f(2) = 0 
f(2) = 0 
𝑥4 + 𝑚𝑥3 − 6𝑥2 + 7𝑥 − 6 = 0 
24 + 𝑚(2)3 − 6(2)2 + 7(2) − 6 = 0 
16 + 8m – 24 + 14 – 6 = 0 
8m = 0 ⇔ m = 0 
Maka persamaannya f(x) = 𝑥4 + 0𝑥3 − 6𝑥2 + 7𝑥 − 6



4. Akar-akar persamaan 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 72 = 0 adalah 𝑥1, 𝑥2. Jika salah satu akarnya adalah 3 dan 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3, maka 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥1 = …. 

Pembahasan: 
𝑥3 − 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 72 = 0 
x = 3 
0 = (3)3 – (3)2 + a(3) + 72 
0 = 3a + 90 
3a = – 90 ⇔ a = – 30 
𝑥3 − 𝑥2 − 30𝑥 + 72 = 0

5. Diketahui (𝑥 − 2) dan (𝑥 − 1) merupakan faktor dari P(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 13𝑥 + 𝑏. Jika faktor dari P(𝑥) adalah 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 dengan 𝑥1 > 𝑥2 > 𝑥3, maka nilai dari 𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 adalah…. 

Pembahasan: 
Jika (x + a) merupakan faktor dari P(x) maka P(-a) = 0 
P(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 13𝑥 + 𝑏 
• (x – 2) ⇒ x = 2 
P(2) = 0 
23 + 𝑎(2)2 − 13(2) + 𝑏 = 0 
4a + b = 18 ….(i) 
• (x – 1) ⇒ x = 1 
P(1) = 0 
13 + 𝑎(1)2 − 13(1) + 𝑏 = 0 
a + b = 12 ….(ii)

Substitusi a = 2 pada pers. (ii) 
a + b = 12 ⇒ 2 + b =12 ⇒ b = 10 
P(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 13𝑥 + 10 
P(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 5) 𝑥1= 2, 𝑥2= 1, 𝑥3= – 5 
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 2 − 1 − (−5) = 𝟔

6. Suku banyak 6x3 + 7x2 + px – 24 habis dibagi oleh 2x – 3. Nilai p = …. 

Pembahasan: